METEO FRANCE - force d'inertie

force d'inertie

Niveau d'explication :

Référentiels non galiléens et forces d'inertie

La loi universelle de la dynamique a une formulation simple qui associe à chaque instant le produit de la masse d'un corps matériel par l'accélération qu'il subit, d'une part, et la résultante des forces s'exerçant sur ce corps, d'autre part. Il faut cependant porter attention au fait que cette formulation suppose que l'on recoure à des référentiels galiléens pour repérer les mouvements des corps matériels (et une parcelle d' air est, comme pour tout fluide, un corps matériel). Or, les référentiels destinés à l'étude d'un problème physique, étant choisis de manière à s'adapter le mieux possible à cette étude, ne sont généralement pas galiléens. Ainsi, en assimilant la Terre à une sphère de centre O, on peut prendre un référentiel muni d'un trièdre (O x , O y , O z ) tel que les demi-axes positifs de O x et O y soient respectivement à l'intersection du plan équatorial avec les demi-plans méridiens de Greenwich et de longitude + 90°, l'axe O z étant l'axe des pôles orienté du sud vers le nord ; à un point donné A de la surface terrestre (différent des pôles), on peut aussi attacher un trièdre "local" (A p , A m , A v ), que formeront l'axe A p tangent en A au cercle parallèle passant par A et orienté vers l'est, l'axe A m tangent en A au demi-cercle méridien passant par A et orienté vers le nord et l'axe A v vertical en A et orienté vers le zénith : à supposer même que l'on puisse négliger pour un temps suffisamment bref les courbures et les accélérations du mouvement de O lorsque la Terre tourne autour du Soleil , les trièdres précités, qui sont tous deux liés à la Terre et communément employés en météorologie , ne définissent en rien des référentiels galiléens, puisqu'ils sont entraînés par la rotation quotidienne de notre planète autour de l'axe des pôles.

Dans tous les cas semblables, où le trièdre du référentiel (R) utilisé est lié à un corps qui subit des mouvements d'accélération sensibles par rapport à celui d'un référentiel initial (R ₀ ) dans lequel on a jugé applicable la loi de la dynamique, l'expression de cette loi dans (R) exige alors de prendre en compte non seulement les forces mises en jeu dans (R ₀ ), mais aussi une ou plusieurs forces nouvelles, qui sont qualifiées de forces d'inertie du fait que c'est grâce à leur apparition dans (R) que le principe d'inertie y est respecté comme dans (R ₀ ). Ces forces, proportionnelles à la masse m de chaque corps matériel (S) auquel elles s'appliquent, traduisent l'effet qu'exercent sur le mouvement de (S), tel qu'observé depuis le référentiel (R) utilisé, les accélérations subies en propre dans (R ₀ ) par le corps solide auquel (R) se trouve lié.

Par exemple, si un plateau circulaire horizontal tourne avec une vitesse angulaire de rotation constante ω autour d'un axe vertical, et si un point matériel M de masse m se meut sur ce plateau à une distance R de son centre, on peut étudier le mouvement de M depuis le référentiel (R ₀ ) de l'espace ambiant, mais aussi depuis un référentiel local (R) dont un des axes du trièdre est l'axe de rotation du plateau, où sont tracés en outre les deux autres axes, de sorte que le trièdre associé à (R) tourne verticalement sur lui-même dans (R ₀ ) à la vitesse ω. Dans le cas où M reste immobile sur le plateau, la loi de la dynamique, supposée applicable dans (R ₀ ), montre qu'il est soumis à une force d'intensité m ω ² R , orientée vers le centre du plateau ; alors, dans le référentiel (R), l'immobilité de M exige de compenser cette force par une force d'inertie — la force centrifuge F _e — qui est exactement opposée à la force précédente. Dans le cas où le point M n'est plus immobile sur le plateau, mais s'y déplace suivant une certaine trajectoire , il s'ajoutera à F _e une autre force d'inertie : la force de Coriolis F _C , qui "dévie" à chaque instant le mouvement de M quand cette trajectoire est observée depuis (R).

Les implications du mouvement d'entraînement

Le recours à la notion de force d'inertie est suggéré par les relations mêmes qui lient vitesse et accélération d'un point M en mouvement, suivant que ces grandeurs — qui sont des vecteurs d'origine M — sont représentées dans un référentiel initial (R ₀ ), appelé "référentiel absolu", ou dans un "référentiel relatif" (R) dont le trièdre de repérage subit un mouvement d'entraînement par rapport à (R ₀ ). Pour tout instant fixé t , notons respectivement par V ₀ , Γ ₀ les vitesse et accélération — dites "absolues" — de M dans le référentiel (R ₀ ), par V , Γ les vitesse et accélération — dites "relatives" — de M dans (R), et par V _e , Γ _e la "vitesse d'entraînement" et l'"accélération d'entraînement" de M, c'est-à-dire les vitesse et accélération dans (R ₀ ) du point M _e de coordonnées fixes dans (R) qui, à l'instant t , coïncide avec M (ce point M _e , dont la détermination change en général d'instant en instant, n'est soumis dans (R ₀ ) qu'au mouvement d'entraînement). On démontre alors que les vitesses absolue et relative de M sont liées par l'égalité V ₀ = V + V _e , puis que ses accélérations absolue et relative obéissent à la relation

Γ ₀ = Γ + Γ _C + Γ _e

où le vecteur Γ _C appliqué en M est appelé l' accélération de Coriolis , du nom de Gustave Gaspard Coriolis . La formulation de cette composante de l'accélération absolue fait appel au vecteur " rotation instantanée " Ω du trièdre associé à (R) : à chaque instant t , et dans un intervalle de temps très bref allant de t à t + δt , le mouvement d'entraînement de ce trièdre peut être considéré comme la combinaison d'une " translation instantanée" (par exemple, celle de l'origine du trièdre durant cet intervalle) et d'une "rotation instantanée" autour d'un axe Δ à la vitesse angulaire de rotation ω ; si l'on oriente Δ de façon à ce que cette rotation ait lieu dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, le vecteur Ω , par définition, sera porté par Δ, de même sens que lui et d'intensité ω. L'accélération de Coriolis prend alors l'expression

Γ _C = 2 Ω Λ V

où le symbole Λ désigne le " produit vectoriel " de deux vecteurs (voir l' encart 2 ).

Supposons à présent que M soit un point matériel de masse m , sur lequel s'exercent, dans le référentiel absolu (R ₀ ), n forces F ₁ , F ₂ , ..., F _n . Si (R ₀ ) est un référentiel galiléen , on peut écrire à chaque instant, selon la loi de Newton, l'égalité F ₁ + F ₂ + ... + F _n = m Γ ₀ ; mais d'après l'expression liant Γ ₀ et Γ , l'écriture de la loi de Newton restera valable dans le référentiel relatif (R) — généralement non galiléen — , sous la forme

F ₁ + F ₂ + ... + F _n + F _C + F _e = m Γ

pourvu que l'on introduise dans le jeu de forces auquel est soumis M deux forces d'inertie : la force F _C = - m Γ _C , dite force de Coriolis, et la force F _e = - m Γ _e , dite force d'inertie d'entraînement . Cette dernière, en cas de mouvement de rotation pure pour le repère de (R), se réduit à une force centrifuge, laquelle, en météorologie, est combinée à la force de gravité exercée par la Terre (qui n'est pas une force d'inertie) pour donner l'expression du poids .

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