 tourbillon |
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Comme le rappelle l'article relatif à la
divergence
, un corps matériel (C) prenant une certaine forme géométrique et occupant un certain volume se déplace en combinant à chaque intervalle de temps élémentaire
δt
, dans un ordre quelconque, quatre types possibles de mouvement : une
translation
, une
déformation
sans variation de son volume, une divergence
—
seulement si le corps est un fluide
—
sans modification de sa forme, enfin une
rotation
qui, comme la translation, ne change ni la forme ni le volume de (C). Cette rotation s'opère autour d'un certain axe Δ qui passe par le
centre de masse
A de (C), et les positions du point A et de l'axe Δ dans l'espace changent généralement d'un instant à l'autre ; néanmoins, entre un instant
t
et l'instant très proche
t
+
δt
qui le suit, la rotation de (C) peut être décrite en orientant arbitrairement Δ et en associant à chaque point M de (C), tel qu'il se situe à l'instant
t
, la projection à angle droit H de M sur Δ : cette rotation ayant déplacé M en M' à l'instant
t
+
δt
, HM' est lui aussi perpendiculaire à Δ, et l'angle
δα
= (
HM
,
HM'
), avec HM' = HM, prend la même valeur pour tous les points M de (C), valeur qui complète la définition d'une rotation "d'axe Δ et d'angle
δα
". Par convention, l'angle
δα
(très petit, donc inférieur à un angle plat) est considéré comme positif ou négatif suivant qu'un observateur allongé dans le sens de Δ, les pieds en H, voit le segment HM tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ou dans le sens opposé quand il se rapproche de HM'. Tout angle est évalué ici en radians : ceux-ci, de symbole rad, mesurent la longueur de l'arc de cercle de rayon unité balayé par cet angle (180° valent donc π radians, avec π = 3,141 592 65...) ; la
vitesse
angulaire de rotation
du corps (C) à l'instant
t
, mesurée en radians par seconde ou rad.s
- 1
, est alors
ω
=
δα
/
δt
. |
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Dans ces conditions, la rotation élémentaire de (C) à l'instant
t
peut être commodément représentée par une flèche, ou
vecteur
, d'origine A : ce vecteur
q
, appelé le tourbillon du corps (C) à l'instant
t
, est porté par l'axe Δ dans le même sens que cet axe ou dans le sens opposé suivant que
ω
est positive ou négative, et sa longueur égale 2 fois la valeur absolue de
ω
; notons que
q
ne dépend pas de l'orientation de Δ, car si celle-ci est inversée,
ω
change de signe. Le facteur 2 est introduit pour identifier
q
à un genre de vecteur universellement défini en mathématiques et appliqué ici à la vitesse : le "rotationnel" ; en fait, on a
q
= 2
ω
, où
ω
désigne le vecteur de
rotation instantanée
de (C). Si trois axes Δ
x
, Δ
y
, Δ
z
perpendiculaires deux à deux forment à l'instant
t
le repère (A
x
, A
y
, A
z
) d'un
référentiel
, on démontre que les
composantes
respectives
q
x
,
q
y
,
q
z
du vecteur
q
suivant les axes Δ
x
, Δ
y
, Δ
z
définissent les tourbillons de trois
rotations
élémentaires suivant ces axes, dont l'application successive en un ordre quelconque à chaque point M de (C) équivaut à appliquer à M la rotation définie par
q
. |
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