 adiabatique |
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La relation adiabatique en milieu gazeux
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Le comportement d'une
parcelle
d'
air
atmosphérique en mouvement vertical ressortit au cas plus général d'une masse donnée
m
d'un gaz de composition fixe, contenue à la
température absolue
T
dans un volume
V
où elle exerce une
pression
p
; les trois grandeurs
p
,
V
,
T
sont alors liées entre elles par l'
équation d'état des gaz parfaits
, qui s'écrit sous la forme
p V
=
m R T
, où
R
est une constante spécifique du gaz considéré. Sous l'action d'une très légère transformation physique, l'
énergie interne
E
de la parcelle de gaz (définie à une constante arbitraire près) peut se modifier d'une certaine valeur
δE
=
δW
+
δQ
par suite de l'apport extérieur d'un
travail
δW
et d'une quantité de
chaleur
δQ
(le nombre très petit
δW
est compté positivement ou négativement suivant que le gaz de cette parcelle reçoit ou fournit du travail, et il en va de même pour le nombre très petit
δQ
suivant que la parcelle reçoit ou fournit de la chaleur) ; en même temps, la pression, le volume et la
température
auront varié respectivement de quantités très faibles
δp
,
δV
,
δT
à l'issue de cette transformation. Conformément aux lois de la
thermodynamique
, la variation de la température du gaz peut alors s'exprimer à partir de celle de sa pression et des valeurs de
T
,
p
et
δQ
en appliquant trois résultats fondamentaux :
le
premier principe de la thermodynamique
, selon lequel la valeur de
δE
ne dépend pas de la transformation (ou de la suite de transformations) empruntée par le système que constitue la parcelle pour passer d'un état à l'autre, mais seulement des grandeurs caractéristiques de ces deux états, l'initial et le final ;
la
loi de Joule
, qui affirme que pour une masse donnée de gaz, l'énergie interne
E
ne dépend que de
T
et non des deux autres grandeurs caractéristiques de l'état de ce gaz ;
l'équation d'état des gaz parfaits, qui permet d'exprimer
δV
en fonction de
T
et
p
et de leurs variations (une expression analogue en résulte pour
δW
, qui est égal à
- p δV
).
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La relation alors obtenue prend la forme
δT
= (
R
/
C
p
)
T
(
δp
/
p
) + [1 / (
C
p
m
)]
δQ
dans laquelle
C
p
désigne une constante spécifique du gaz : sa
chaleur massique
à pression constante
, égale à la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1
°C
(ou de 1
K
) une masse de 1 kg de ce gaz maintenue à pression constante. (En fait,
C
p
varie généralement avec la température, de façon suffisamment lente toutefois pour qu'on puisse lui assigner une valeur constante dans de larges créneaux de variation de
T
.) Or, dire que la transformation élémentaire subie par la parcelle de gaz était adiabatique équivaut à dire que
δQ
est nul, auquel cas la relation ci-dessus se transforme en l'égalité
δT
/
T
= (
R
/
C
p
)(
δp
/
p
)
On montre que tant qu'une telle parcelle n'évolue que par transformations adiabatiques, l'égalité précédente exige que les grandeurs
p
et
T
qui décrivent son état soient liées par la relation
T
/
T
0
= (
p
/
p
0
)
R
/
C
p
où les données
p
0
et
T
0
caractérisent un état
—
arbitrairement choisi
—
parmi ceux dans lesquels la parcelle s'est trouvée (ou serait susceptible de se trouver). Ce type de relation est de la forme
T
=
A p
B
, où les constantes
B
(égale à
R
/
C
p
) et
A
sont positives ; d'après les propriétés mathématiques de la fonction "puissance
B
", on peut alors conclure que lors d'une transformation adiabatique, la température du gaz varie dans le même sens que sa pression, de sorte qu'une compression y est effectivement associée à un réchauffement, et une détente, à un refroidissement : tel est en particulier le cas pour une parcelle d'air (non
saturé
) en mouvement vertical. |
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Les isolignes adiabatiques et l'adiabatisme humide
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La relation qui vient d'être obtenue montre que la température absolue
T
et la
pression atmosphérique
p
dans une parcelle d'
air sec
évoluant par transformations adiabatiques sont liées par l'égalité
T
/
T
0
= (
p
/
p
0
)
R
a
/
C
pa
dans laquelle les constantes
R
a
et
C
pa
spécifiques de l'air sec sont mesurables expérimentalement et ont pour valeurs respectives 287 J.kg
- 1
.K
- 1
et 1 005 J.kg
- 1
.K
- 1
(le rapport sans dimension
R
a
/
C
pa
est, à 1,4.10
- 4
près, égal à 2/7) ; si l'on fixe
p
0
à 1 000
hPa
, cette égalité se récrit sous la forme
T
= θ (
p
/ 1 000)
R
a
/
C
pa
où θ est la
température potentielle
de la parcelle : on obtient là l'"équation" des courbes constituant les
isolignes
adiabatiques dessinées sur un
émagramme
et cotées suivant les valeurs du
paramètre
θ, qui est l'unique paramètre dont dépend leur tracé (cf.
fig.
). |
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Dans l'
atmosphère
, cependant, une parcelle d'air contient toujours une certaine masse de
vapeur d'eau
m
v
mélangée à la
masse d'air
sec
m
a
qu'elle transporte. Sa masse totale valant
m
=
m
a
+
m
v
, et son
rapport de mélange
r
=
m
v
/
m
a
étant supposé approximativement constant lors des transformations adiabatiques qu'elle subit, l'équation d'état des gaz parfaits reste applicable à cette parcelle, mais sous la forme
p V
=
m R
h
T
, où le nombre
R
h
dépend de la composition de l'
air humide
qui s'y trouve contenu, et donc du rapport de mélange : en fait,
R
h
a pour expression (
R
a
+
r R
v
) / (1 +
r
), où la constante
R
v
est spécifique de la vapeur d'eau
—
elle figure dans son équation d'état
—
et vaut 461,5 J.kg
- 1
.K
- 1
. La chaleur massique à pression constante pour l'air humide de la parcelle,
C
ph
, dépend elle aussi de
r
: pour élever de 1 K la masse
m
de cet air à pression constante, il faut apporter une quantité de chaleur de
m
a
C
pa
J à l'air sec, et à la vapeur d'eau, de même, une quantité de
m
v
C
pv
J, où
C
pv
représente la chaleur massique de la vapeur d'eau à pression constante, égale à 1 863 J.kg
- 1
.K
- 1
; le nombre
C
ph
a donc pour expression (
m
a
C
pa
+
m
v
C
pv
) / (
m
a
+
m
v
) ou encore, en divisant par
m
a
le numérateur et le dénominateur de ce rapport, (
C
pa
+
r C
pv
) / (1 +
r
). |
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La relation entre température et
pression
dans une parcelle d'air humide mais non saturé, gardant un certain rapport de mélange
r
et évoluant de façon adiabatique, s'écrit ainsi sous la forme
T
/
T
0
= (
p
/
p
0
)
R
h
/
C
ph
où l'exposant
R
h
/
C
ph
vaut (
R
a
+
r R
v
) / (
C
pa
+
r C
pv
), soit encore (
R
a
/
C
pa
) {[1 + (
R
v
/
R
a
)
r
] / [1 + (
C
pv
/
C
pa
)
r
]}. Dans le facteur entre accolades, les coefficients
R
v
/
R
a
et
C
pv
/
C
pa
sont compris entre 1 et 2 et le rapport de mélange
r
garde des valeurs positives très faibles, dont l'ordre de grandeur dépasse rarement 10
- 2
; dans ces conditions, on montre que ce facteur est pratiquement égal à 1 + [(
R
v
/
R
a
) - (
C
pv
/
C
pa
)]
r
, avec
R
v
/
R
a
= 1,608 et
C
pv
/
C
pa
= 1,854. Il en résulte que la relation entre température et pression dans la parcelle d'air humide prend la forme
T
=
T
0
(
p
/ 1 000)
(
R
a
/
C
pa
) (1 - 0,246
r
)
où la température
T
0
à la pression 1 000 hPa diffère de la température potentielle θ, puisque celle-ci, à
T
et
p
fixées, est obtenue par la formule
T
= θ (
p
/ 1 000)
R
a
/
C
pa
Mais en réalité, le facteur 1 - 0,246
r
intervenant dans l'exposant est très voisin de l'unité, et pour tous les choix du rapport de mélange correspondant à des conditions réelles, les écarts à la valeur de θ que peuvent atteindre les valeurs de
T
0
ne dépassent pratiquement pas le dixième de
kelvin
(ou de
degré Celsius
) : c'est pourquoi il apparaît légitime d'utiliser les adiabatiques sèches, cotées en température potentielle, pour analyser toute couche d'atmosphère formée d'air non saturé, et ceci quelle que soit l'
humidité
régnant alors dans cette couche. |
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