arc-en-ciel   Niveau d'explication :    L'arc-en-ciel en noir et blanc... Pour comprendre plus en détail le processus d'apparition de l'arc-en-ciel, commençons par représenter une gouttelette par une sphère (S) d'eau liquide, de centre G et de rayon ρ, en suspension dans l' atmosphère au sein d'un "rideau" de pluie (voir la figure 1), et limitons-nous à la part du rayonnement solaire correspondant à une valeur unique λ du domaine des longueurs d'onde (dans l' air ) visibles : la gouttelette est éclairée par un faisceau de lumière entrante (Φ e ) limité par un cylindre circulaire droit issu de la surface solaire (qui est située pratiquement à l'infini) ; ce faisceau est formé de droites parallèles dont la direction commune Δ forme un angle h par rapport à l'horizontale (c'est la "hauteur" du soleil , telle qu'on peut la trouver définie dans l'article relatif à la culmination ), et sa frontière a pour directrice le grand cercle de (S) situé dans le plan orthogonal à Δ passant par G. Au sein du faisceau (Φ e ), un rayon R de lumière monochromatique touchant en M la surface de (S) sous un angle d'incidence i (compris entre 0° et 90°) traverse ce dioptre sous l' angle de réfraction r (également entre 0° et 90°) et pénètre dans la gouttelette jusqu'à en atteindre de nouveau la surface en un point A où, réfléchi comme par un miroir, il retourne par (S) à la surface de la gouttelette, qu'il franchit en N par réfraction à travers ce même dioptre en ressortant dans l'atmosphère : le parcours du rayon R est entièrement inclus dans un plan (P) qui coupe (S) suivant un grand cercle, et le rayon sortant y est le symétrique du rayon entrant par rapport à la droite GA, que ces deux rayons coupent en un même point B. (Dans les cas plus rares où le rayon R, au lieu de ressortir dans l'atmosphère au point N, s'y réfléchirait avant de sortir enfin par réfraction au point d'incidence suivant de la surface de la gouttelette, ce rayon participerait à la formation de l'"arc-en-ciel secondaire".) Comme le montre la figure 2, les rayons différents R, R'... suivent des parcours différents dans des plans (P), (P')... généralement différents ; cependant, les rayons incidents correspondant à une même valeur de l'angle i sont répartis sur un cylindre circulaire droit dont l'axe (δ) est la droite de direction Δ passant par G, et ils ressortent en se répartissant sur un demi-cône circulaire droit de même axe, de sommet C — intersection de (δ) avec le support du rayon R finalement sortant — et de demi-angle au sommet α . La valeur de cet angle α (compris entre 0° et 90°) fournit l'écart angulaire subi par ce rayon sortant par rapport à la direction Δ du rayon initialement entrant ; on démontre (voir l' encart 1 ) que α = 2 (2 r - i ) et que la distance de C au centre de la gouttelette est GC = ρ sin i / sin α (qui prend la valeur GC 0 = ρ / {2 [(2 / n λ ) - 1]} quand α = i = 0°, n λ désignant l' indice de réfraction de l'eau par rapport à l'air pour la longueur d'onde λ ). Pour les valeurs limites des angles d'incidence et de réfraction, soit i 0 = r 0 = 0° et i L = 90° avec sin r L = 1 / n λ , α prend respectivement les valeurs α 0 = 0° et α L = 2 (2 r L - 90) degrés ; mais on peut montrer (voir l' encart 2 , en particulier la figure 3) que lorsque i varie de 0° à 90°, α croît d'abord de 0° à une valeur maximale α m associée à un certain angle d'incidence i m (et à l'angle de réfraction résultant r m ) avant de décroître ensuite jusqu'à α L . (Pour la valeur n λ = 1,336 4 de l'indice de réfraction, correspondant à la longueur d'onde moyenne λ = 0,525 µm située dans le vert, on a environ α m = 41° 34' pour i m = 59° 13' et r m = 40° 00', tandis que α L = 13° 48' pour r L = 48° 27'.) Le niveau 3 ( expert ) du présent article propose une analyse de l'image monochromatique du soleil fournie par le "miroir" que constitue la gouttelette (S). On y constate qu'une telle image n'est pas exactement ponctuelle, ni nettement dessinée (voir la figure 4 et la figure 5) ; à grande distance, toutefois, elle est pratiquement identifiable à une source ponctuelle située en G et émettant dans l'atmosphère un faisceau de lumière sortante (Φ s ) dont la surface frontière est un demi-cône circulaire droit d'axe (δ), de sommet G et de demi-angle au sommet α m , et dont l' intensité lumineuse apparaît beaucoup plus forte près de cette frontière. Au sein de ce faisceau, qui révèle que la traversée du rideau de pluie déclenche une dispersion de la lumière, seul le rayon de direction GO émergeant de la gouttelette (S) pour s'orienter vers l'œil O de l'observateur peut être perçu par ce dernier, cela sous un certain angle α O par rapport à la direction Δ, et à condition que la valeur de α O ne dépasse pas celle de α m . Remarquons alors que cet angle α O est aussi bien l'angle que fait la demi-droite OG avec l'axe donné (D) d'origine O, de direction Δ, de sens identique à celui du soleil vers l'observateur, qui est l'axe selon lequel celui-ci regarde l'image du soleil renvoyée par le rideau de pluie (voir la figure 6) : ainsi, si l'on prend toutes les gouttelettes concourant à former cette image, la contribution apportée à cette dernière par l'ensemble des rayons tombant sur ces gouttelettes sous le ou les angles d'incidence associés à α O — soit (voir figure 3) i O pour α O strictement inférieur à α L , i' O et i'' O pour α O compris entre α L et α m , i m pour α O = α m — sera l'intersection de la voûte céleste avec le demi-cône circulaire droit de sommet O, d'axe (D), ayant pour demi-angle au sommet α O ; une telle intersection prend la forme d'un arc de cercle limité par l'horizon et de rayon apparent α O , qui est centré sur l'intersection — généralement invisible — de l'axe (D) avec la sphère céleste de centre O. Finalement, si l'on considère toutes les valeurs possibles balayées par le paramètre α O , il vient que l'image du soleil offerte à l'observateur par le rideau de pluie pour le rayonnement monochromatique de longueur d'onde donnée λ est la portion de disque limitée sur la voûte céleste par l'horizon et par le volume intérieur au demi-cône circulaire droit de sommet O, d'axe (D) et de demi-angle au sommet α m (voir figure 6). Cette image prend la couleur du rayonnement lumineux de longueur d'onde λ , et parmi les points qui la composent, celui qui est situé le plus haut dans le ciel a pour hauteur angulaire α m - h , comme l'indique la figure 6. Cependant, lesdits points, considérés comme des sources de lumière visible , n'ont pas la même intensité lumineuse suivant la direction du rayon sortant, et donc suivant la valeur de l'angle α O : aussi l'image monochromatique du soleil se compose-t-elle d'une succession d'arcs de couronne circulaire concentriques dont la couleur commune est répartie non pas de façon uniforme, mais avec une intensité lumineuse différente d'un arc à l'autre. L'analyse effectuée au niveau 3 de cet article sur une base géométrique explique qualitativement la remarque énoncée ci-dessus, suivant laquelle cette intensité lumineuse reste modérée et peu variable dans la région interne à l'image, pour croître fortement et atteindre un maximum très net sur son pourtour, c'est-à-dire sur l'arc de couronne circulaire (Ω m ) où α O devient égal ou légèrement inférieur à α m . Sur une base physique, il faudrait au moins ajouter que chaque arc (Ω O ), de rayon apparent α O , peut être considéré comme observé sous une même largeur angulaire mesurable par une petite variation donnée δα autour de α O : alors, l'angle d'incidence i O — ou le couple d'angles d'incidence i' O , i'' O — lié à α O voit ses valeurs varier dans un créneau δi O — ou dans un couple de créneaux δi' O , δi'' O — dont l'ampleur diffère suivant le choix de α O , comme le montre la courbe de la figure 3 ; or, selon cette courbe, qui a pour maximum le point ( i m , α m ), c'est lorsque les points ( i' O , α O ) et ( i'' O , α O ) se rapprochent de ce maximum jusqu'à s'y confondre que le créneau de variation de i , à δα donné, devient le plus ample et que l' énergie radiante "rassemblée" par incidence sur le rideau de pluie pour former l'arc (Ω O ) est par conséquent la plus importante. Si le spectre de couleurs de l'arc-en-ciel se déploie de façon assez analogue à celui d'un prisme de verre, c'est, ainsi que nous le verrons, grâce à un tel renforcement de l'intensité lumineuse sur la frange (Ω m ) qui borde chaque image monochromatique du soleil apportée à l'observateur par le rideau de pluie. ... et en couleurs Pour une valeur donnée λ de la longueur d'onde, l'image du soleil sur la voûte céleste, avons-nous dit, est une portion de disque dessinée sur la sphère céleste, axée sur la droite (D), et vue par l'observateur dans le sens opposé au soleil, au-dessus de la ligne d'horizon, sous un rayon apparent de α m . Cette image est virtuelle, et sur un écran placé derrière le rideau de pluie, on ne trouverait aucune trace lumineuse de la source émettrice du volume conique convergeant de cette portion de disque vers l'observateur, car ce volume provient en fait des retours de lumière effectués grâce aux myriades de gouttelettes parsemant ce rideau ; de plus, si l'observateur, toutes choses égales d'ailleurs, se déplace en une translation de O à O', il perçoit l'image comme l'accompagnant par une translation identique — ni la direction Δ (pratiquement) ni l'angle α m , en effet, ne varient — , de sorte que deux observateurs voisins ne voient pourtant pas le même arc-en-ciel. Mais le fait essentiel est que le rayon apparent α m dépend de la valeur de λ , et donc de la couleur correspondant au rayonnement que l'on considère : en effet, l'indice de réfraction n λ est, conformément à la loi de Cauchy , une fonction décroissante de λ ; par suite, comme il est dit dans l' encart 2 , et comme il apparaît dans la figure 3, les valeurs de α m sont croissantes avec λ . On ne peut guère avancer pour ces valeurs, en fonction de λ , les chiffres très précis dont il serait pourtant nécessaire de disposer afin de dépeindre quantitativement l'arc-en-ciel : c'est que les rapports n λ , en effet, ne sont pas connus avec une certitude absolue et dépendent chacun de différents facteurs, principalement de la température ; nous nous contenterons de nombres approchés dans une atmosphère à 10 °C en donnant respectivement aux n λ les valeurs 1,344 3 pour une des longueurs d'onde du violet ( λ 1 = 0,400 µm), 1,338 9 pour un bleu ( λ 2 = 0,475 µm), 1,336 4 pour un vert ( λ 3 = 0,525 µm), 1,334 4 pour un jaune ( λ 4 = 0,575 µm), 1,333 1 pour un orangé ( λ 5 = 0,625 µm) et 1,331 2 pour un rouge ( λ 6 = 0,700 µm). Dans ces conditions, on calcule que le rayon apparent α m de l'image du soleil donnée par un rayonnement monochromatique peut prendre des valeurs allant à peu près de 40° 29' pour λ 1 à 42° 20' pour λ 6 en balayant tous les nombres associés au spectre continu des couleurs et, en particulier, en atteignant 41° 13' pour λ 2 , 41° 34' pour λ 3 , 41° 54' pour λ 4 et 42° 04' pour λ 5 . Ainsi (voir la figure 6), les portions de disque constituant les images associées aux différentes longueurs d'onde ont même centre et même intersection avec l'horizon de la surface terrestre, et celle d'entre elles qui réunit les plus grands diamètres vient délimiter l'image globale (formée par la réunion de toutes les longueurs d'onde visibles) en dessinant une frange externe (Ω M ) emplie uniquement de rayonnements correspondant au rouge, de sorte que le bord extérieur de l'arc-en-ciel apparaît rouge. Puis, au fur et à mesure que la valeur du rayon apparent α m diminue, des longueurs d'onde plus courtes peuvent entrer en jeu et engendrer successivement des arcs (Ω m ) associés à de nouveaux créneaux du spectre, en opérant par combinaison des nouvelles couleurs avec les couleurs déjà présentes précédemment ; cette combinaison, comme nous l'avons suggéré plus haut, met en évidence l'ordre du spectre, car elle favorise chaque fois la prédominance de la couleur nouvellement introduite, dont la longueur d'onde est associée à la nouvelle valeur, moins élevée, de α m : la lumière de cette couleur est émise par les gouttelettes quasi ponctuelles situées sous des angles α O proches de cette nouvelle valeur, et son intensité lumineuse excède nettement les intensités des composantes associées aux valeurs précédentes, plus élevées, de α m . Enfin, une fois atteint le violet (pour lequel α m sera parvenu à sa valeur minimale), la portion de disque intérieure à l'arc-en-ciel rassemble les points de la voûte céleste où toutes les couleurs dispersées par le rideau de pluie sont maintenant présentes et se recomposent à la sortie des gouttelettes de pluie en tendant à donner une lumière blanchâtre : c'est pourquoi le "ciel", souvent, n'a pas exactement la même couleur bleue à l'intérieur de l'arc-en-ciel qu'à l'extérieur, dans la mesure où s'y superpose à la diffusion atmosphérique une nuance laiteuse due à cette recombinaison. Pour finir, notons que d'après la figure 7, la hauteur du point le plus élevé de l'arc-en-ciel vaut α M - h , où h mesure la hauteur du soleil et α M , la valeur de α m dans le rouge, que nous pouvons estimer voisine de 42°. Désignons alors par H la hauteur — positive, nulle ou négative — à laquelle se trouve réellement la ligne d'horizon dans le prolongement du plan vertical en O contenant l'axe (D) : pour que l'image du soleil soit visible de l'observateur, il faut que l'on ait α M > H + h . Dans le cas le plus fréquent, où H est pratiquement nul, on ne peut donc apercevoir un arc-en-ciel que si la hauteur h du soleil n'excède pas les 42° de l'angle α M (ce qui exclut en saison chaude , du moins sous nos latitudes, certaines heures en milieu de journée) : cependant, si l'observateur fait face à un relief, de sorte que H est significativement positif, il faudra que la hauteur du soleil soit encore plus faible pour que son image apparaisse, puisqu'on doit avoir h < α M - H ; au contraire, si l'observateur se trouve par exemple sur le flanc d'une montagne, de sorte que H est significativement négatif, il pourra aussi percevoir cette image dans des cas où h dépasse les 42°. Seules des circonstances exceptionnelles où l'on a h très faible avec - H positif et relativement élevé permettent à l'observateur de localiser de visu le centre de l'image du soleil (ce cas exige h < - H ) ou, a fortiori , de saisir la circonférence entière de cette image (ce cas, qui exige h + α M < - H , est réalisable par exemple depuis un avion, d'où se contemplent quelquefois des arcs-en-ciel en forme de cercles complets). Un article du glossaire réunit un ou plusieurs textes explicatifs. D'éventuels articles rattachés sont présentés dans chacun de ces textes. Les mots surlignés repèrent les passages de présentation des articles rattachés. Les mots en gras sont des liens vers d'autres articles. Le niveau d'explication - "Curieux", "Initié" ou "Expert" - vous informe sur la facilité de lecture de chaque texte. Naviguez entre ces niveaux gràce à l'échelle en haut de page.

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