 équation hydrostatique |
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Afin d'examiner les conditions de mouvement ou d'équilibre d'un fluide tel que l'eau ou l'
air
en un point M situé à l'altitude
z
dans un environnement proche de la surface terrestre, utilisons un
référentiel
lié à la Terre : celui-ci, au cours du temps
t
, sera constitué par un trièdre orthonormé direct (O
x
, O
y
, O
z
) dans lequel l'origine O est située sur la surface du
niveau moyen de la mer
, l'axe O
z
coïncidant avec la
verticale
en O orientée vers le zénith ; M est supposé suffisamment proche de ce dernier axe pour que la perpendiculaire au plan (O
x
, O
y
) issue de M puisse être confondue avec la verticale passant par M, et les coordonnées de M suivant les axes O
x
, O
y
, O
z
sont donc respectivement son abscisse
x
, son ordonnée
y
et sa cote
z
, qui est aussi son altitude. Si
δx
,
δy
,
δz
sont trois nombres positifs, un parallélépipède de centre M peut être défini à partir des plans verticaux parallèles au plan (O
y
, O
z
) d'abscisses respectives
x - δx
et
x
+
δx
, des plans verticaux parallèles au plan (O
z
, O
x
) d'ordonnées respectives
y - δy
et
y
+
δy
et des plans horizontaux de cotes respectives
z - δz
et
z
+
δz
; dans le domaine (D) limité par ce parallélépipède, les centres des rectangles constituant les faces horizontales la plus élevée et la moins élevée seront notés respectivement par N et N'. |
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Si les longueurs
δx
,
δy
et
δz
sont choisies suffisamment petites, on peut estimer :
que l'
accélération de la pesanteur
g
et la
masse volumique
ρ
du fluide sont constantes à l'intérieur de (D) ;
que la
pression
varie linéairement le long du segment NN', de sorte que si elle adopte les valeurs
p
en M et
p
+
δ
z
p
en N, où
δ
z
p
est petit, elle aura la valeur
p - δ
z
p
en N' ;
que le milieu fluide extérieur au domaine (D) exerce sur ce domaine suivant sa face horizontale la plus élevée, par exemple, une force qui a pour point d'application N, pour direction celle de NN' (perpendiculaire en N à cette face), pour sens celui de N vers M (car la pression exercée par l'extérieur agit ici de haut en bas) et pour intensité 4 (
p
+
δ
z
p
)
δx δy
, produit de l'aire de cette face par la pression en N.
De même, la force exercée par l'extérieur du fluide sur (D) suivant la face horizontale la moins élevée s'applique en N', est dirigée verticalement du bas vers le haut et a pour intensité 4 (
p - δ
z
p
)
δx δy
: la
résultante
des deux forces exercées sur (D) suivant ses faces horizontales est donc assimilable à une force appliquée en M, portée par la verticale en ce point, et telle que sa valeur numérique (algébrique) suivant l'axe O
z
est égale à 4 (
p - δ
z
p
)
δx δy
- 4 (
p
+
δ
z
p
)
δx δy
, soit - 8
δ
z
p δx δy
; le sens de cette
force
de pression
verticale
F
pz
dépend du signe de
δ
z
p
(elle est dirigée vers le haut si
δ
z
p
< 0). De la même façon, on mettrait en évidence que s'exercent respectivement dans les directions des axes O
x
et O
y
deux forces de pression horizontales
F
px
et
F
py
appliquées en M et de valeurs numériques - 8
δ
x
p δy δz
et - 8
δ
y
p δz δx
, les petites variations de pression
δ
x
p
et
δ
y
p
étant telles que les
pressions
aux points de coordonnées (
x
+
δx
,
y
,
z
) et (
x
,
y
+
δy
,
z
) ont pour valeurs
p
+
δ
x
p
et
p
+
δ
y
p
. |
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Les trois forces
F
px
,
F
py
,
F
pz
marquant l'action de la pression du milieu extérieur sur le domaine (D) suivant les trois directions du trièdre (O
x
, O
y
, O
z
) ont une résultante
F
p
appliquée en M, qui traduit la force de pression globale exercée par l'extérieur sur (D) à chaque instant
t
. En ce même instant, la
parcelle
élémentaire de fluide constituée par (D) est soumise à d'autres
forces externes
, et c'est la combinaison de ces forces avec
F
p
qui déterminera dans (O
x
, O
y
, O
z
) le mouvement de M et, éventuellement, son équilibre. |
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Les conditions de l'équilibre statique en un fluide
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Reprenons la description précédente en rappelant que la parcelle élémentaire (D) de fluide est limitée par un parallélépipède rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives 2
δx
, 2
δy
, 2
δz
; le volume élémentaire
δU
de (D) est ainsi égal à 8
δx δy δz
, et sa masse a pour valeur
ρ δU
. Les forces externes appliquées en M et agissant sur la parcelle (D) sont alors :
la force de pression
F
p
. Comme nous venons de le voir, les
composantes
F
px
,
F
py
,
F
pz
de cette force suivant les trois axes O
x
, O
y
, O
z
ont respectivement pour valeurs numériques - (
δ
x
p
/
δx
)
δU
, - (
δ
y
p
/
δy
)
δU
, - (
δ
z
p
/
δz
)
δU
, où les trois nombres
δ
x
p
,
δ
y
p
,
δ
z
p
sont tels que les pressions aux points de coordonnées (
x
+
δx
,
y
,
z
), (
x
,
y
+
δy
,
z
), (
x
,
y
,
z
+
δz
) sont respectivement égales à
p
+
δ
x
p
,
p
+
δ
y
p
,
p
+
δ
z
p
;
le
poids
P
de la parcelle (D), combinaison de la
force de gravité
exercée par la Terre et de la
force centrifuge
associée au mouvement de
rotation
de la planète autour de l'axe des pôles. Ce poids s'exerce verticalement du haut vers le bas et a donc une valeur numérique (négative) égale à -
ρ g δU
suivant l'axe O
z
;
la
force de Coriolis
F
C
associée au déplacement de M par rapport au trièdre (O
x
, O
y
, O
z
). Si
V
est la vitesse de ce déplacement, et si
Ω
est le
vecteur
décrivant la rotation terrestre (il est porté par la parallèle en M à l'axe des pôles, orienté du Sud au Nord et d'intensité égale à la vitesse angulaire de rotation de la Terre), alors
F
C
est orthogonale à
V
et à
Ω
, telle que le trièdre (
V
,
Ω
,
F
C
) d'origine M est direct, et elle a pour intensité le double du produit de trois grandeurs : l'intensité de
V
, celle de
Ω
et le sinus (positif ou nul) de l'angle (
V
,
Ω
). Si
V
est nulle, il en va de même de
F
C
;
éventuellement, enfin, la
force de frottement
F
f
, qui se manifeste lorsque le fluide est suffisamment proche d'une surface de séparation.
F
f
s'oppose au mouvement décrit par
V
(sans être de même direction que celle-ci) et s'annule quand
V
est nulle.
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Examinons maintenant le cas d'une région donnée (R) du fluide. Dire que, pendant un certain intervalle de temps, ce fluide est en équilibre statique dans (R), c'est dire que, durant cet intervalle,
V
est nulle en chacun des points M de (R). Il en est alors de même de
F
C
et de
F
f
, et pour que l'absence de mouvement au sein de (R) soit réalisée, il faut déjà que les forces de pression horizontales
F
px
et
F
py
y soient nulles, c'est-à-dire que les conditions
δ
x
p
/
δx
= 0 et
δ
y
p
/
δy
= 0 y soient partout satisfaites : tel sera le cas si, pour
z
donné,
p
prend partout dans (R) la même valeur ; or, on démontre que cette dernière condition, suffisante, est également nécessaire dès lors que (R) n'est plus seulement, comme (D), un domaine infinitésimal. |
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Ainsi, dans un fluide immobile, les surfaces de pression constante sont obligatoirement les surfaces d'altitude (ou de profondeur) constante ; en particulier, dans une
atmosphère
en équilibre statique, les
surfaces isobares
seraient identiques aux surfaces horizontales. Il reste cependant à traduire l'absence de mouvement vertical dans (R) en écrivant que l'effet de la force de pression verticale
F
pz
y compense partout celui du poids
P
, soit - (
δ
z
p
/
δz
)
δU
= - (-
ρ g δU
), ou encore :
δ
z
p
= -
ρ g δz
. C'est cette relation qui représente l'équation hydrostatique ; on peut la récrire exactement en remarquant qu'à un instant
t
donné,
p
n'est plus alors fonction que de
z
, et en introduisant la notation différentielle
dp
/
dz
pour la dérivée de cette fonction : dans ces conditions, l'équation hydrostatique prendra simplement la forme
dp
= -
ρ g dz
.
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