METEO FRANCE - flux de rayonnement

flux de rayonnement

Niveau d'explication :

Mesure du flux sur tout le spectre : la luminance énergétique...

Les grandeurs caractérisant le flux de rayonnement ou l' éclairement sur un intervalle de longueurs d'onde infinitésimal, allant de λ à λ + dλ , sont qualifiées de "spectriques", puisqu'elles décrivent la puissance d'un rayonnement non pas dans son ensemble, mais à travers les contributions qu'apportent à cette puissance les différentes régions du spectre suivant lequel les longueurs d'onde de ce rayonnement se trouvent réparties. Un tel spectre s'étend ou s'étudie sur un domaine Λ de définition des longueurs d'onde qui peut être très divers : tantôt ce domaine concerne toutes les valeurs possibles de λ , et donc tous les nombres positifs, tantôt — c'est le cas le plus fréquent — il recouvre un intervalle de valeurs allant de λ ₁ à λ ₂ (par exemple, pour le visible , on aura classiquement λ ₁ = 0,38 µm, correspondant au violet, et λ ₂ = 0,78 µm, correspondant au rouge) ; mais Λ peut aussi rassembler plusieurs intervalles disjoints, ou comporter des bandes ou des raies isolées. Le point important est que l'évaluation des flux et des éclairements sur tout ou partie du spectre d'un faisceau conduit à introduire des quantités qui supposent connu et énoncé a priori le domaine Λ de définition des longueurs d'onde auquel on se réfère : ces quantités s'obtiennent alors par intégration sur Λ des grandeurs "spectriques", qui sont chacune des fonctions de la longueur d'onde .

Ceci souligné, reprenons les notations précédemment utilisées en les précisant : M est ainsi un point d'une surface (S), (dS) un élément de (S) de centre M et d'aire dS , D une demi-droite issue de M, (Γ) un cône élémentaire de sommet M et d'axe D, dΩ l' angle solide de (Γ) en M, α l'angle entre D et la perpendiculaire en M à (dS) — orientée du même côté de (S) que D — , φ l'angle entre la projection orthogonale de D sur le plan tangent en M à (S) et une demi-droite fixe issue de M dans ce plan ; si (Γ) intercepte un élément (dS') d'une autre surface (S'), nous emploierons de même les notations dS' , M', α' pour cet autre élément, et dΩ' pour l'angle solide sous lequel M' voit (dS). (Notons que l'expression de l'angle solide élémentaire peut s'écrire sous la forme dΩ = dS' cos α' / (MM') ² , ou encore, en le considérant comme fonction de α et φ : dΩ = sin α dα dφ.) Par ailleurs, dΦ _D et dH _D — qui sont tels que dΦ _D = dH _D dS — représentent respectivement le flux énergétique et l'éclairement du faisceau que la surface (dS) émet ou reçoit en M, sur le domaine de longueurs d'onde Λ, à travers le cône (Γ) ; de même, l'intégration de dΦ _D et dH _D sur l'ensemble des positions de D — α variant de 0 à π/2 et φ de 0 à 2π — fournit respectivement, sur le domaine Λ, le flux global (hémisphérique) dΦ associé à l'élément (dS) et l'éclairement global H associé à M, qui est égal à dΦ / dS .

Dans ces conditions, on obtient la relation fondamentale

dΦ _D = L _D cos α dS dΩ

où la quantité L _D , définissable en chaque point M de (S) pour chaque direction D, s'appelle la luminance énergétique correspondant au domaine de longueurs d'onde Λ et se mesure en W.m ^{- 2} . sr ^{- 1} ; L _D est l'intégrale sur Λ de la luminance énergétique spectrique L _{D,
λ} en M. (Dans le cas où la surface (S) se réduirait à une source ponctuelle M, on pourrait de façon analogue calculer le flux élémentaire dΦ _D intérieur à un cône de type (Γ) à partir de l'égalité dΦ _D = I _D dΩ , où la quantité I _D , appelée l' intensité énergétique de M pour la direction D, est l'intégrale sur Λ de l'intensité énergétique spectrique I _{D,
λ} et se mesure en W.sr ^{- 1} .)

... et l'exitance énergétique

Comme on le constate, la luminance énergétique L _D en un point M d'une surface (S), dans une direction déterminée D, peut se définir sur un domaine donné de longueurs d'onde Λ comme le flux énergétique que (S) émet, transmet ou reçoit par unité d'angle solide d'origine M autour de D et par unité d'aire de la "surface apparente" que découpe (S) autour de M perpendiculairement à D (de même, l'intensité énergétique I _D d'une source ponctuelle M dans une direction déterminée D se définit sur un domaine donné Λ comme le flux énergétique qu'émet cette source par unité d'angle solide d'origine M autour de D). Si la surface (S) est une source de rayonnement, la connaissance de sa luminance L _D pour chacun de ses points M et chacune des directions D issues de M permet alors de calculer sur Λ, en chaque point M' d'une surface cible (S'), l' éclairement énergétique H' suscité par (S), en partant de la relation

dH' _M'M = L _MM' cos α' dΩ'

qui explicite la contribution à H' de l'éclairement dû au faisceau de rayonnement émis par (S) en provenance de M. Signalons au passage que la constante solaire C fournit un exemple de quantité H' , puisqu'elle mesure en fait la moyenne sur un an de l'éclairement énergétique au centre d'une cible (dS') éclairée par le Soleil , située à la même distance (variable) de lui que le haut de l' atmosphère terrestre et telle que α' = 0 : le flux entrant du rayonnement solaire dans le système Terre-atmosphère est ainsi égal en moyenne au produit de C par l'aire S d'un grand cercle de la Terre ; l'aire du globe terrestre valant 4 S , on en déduit que l'éclairement moyen à l'entrée dans l'atmosphère est égal au quart de C , soit un peu plus de 340 W.m ^{- 2} .

Que le faisceau étudié attribue à une surface donnée (S) le rôle d'une source ou celui d'une cible, la connaissance de L _D permet également de calculer, sur le domaine Λ, l'éclairement énergétique H en chaque point M de cette surface : en effet, la quantité L _D cos α dΩ , encore égale à (1/2) L _D sin 2α dα dφ, fournira par intégration sur l'hémisphère la valeur de H , qui est tout aussi bien l'intégrale sur Λ de la quantité N _λ définie plus haut. Lorsque (S) est considérée uniquement comme une source de rayonnement, l'éclairement énergétique H est nommé préférentiellement l' exitance énergétique de cette source au point M et sur le domaine Λ. Par ailleurs, on envisage souvent le cas où la luminance énergétique sur Λ en M satisfait à la condition de Lambert, c'est-à-dire garde une même valeur L quelle que soit la direction D : dans ce cas particulier, l'éclairement est lié à la luminance par l'égalité simple H = π L.

Les descriptions précédentes supposent cependant qu'un flux énergétique isolé dΦ est ou bien émis, ou bien reçu par l'élément de surface (dS), cela de façon indifférente. Or, un flux - dΦ _r incident en M sur (dS) s'y décompose en réalité en trois flux : le premier, soit - dΦ _m , est transporté par un faisceau qui traverse (dS) sans modification énergétique ; le second, soit dΦ _s , est réfléchi (au sens large) par (dS) suivant un faisceau qui croise en retour le faisceau incident ; enfin, le troisième, soit - dΦ _a , est absorbé par la surface (dS). Celle-ci, d'autre part, est de température absolue non nulle et rayonne donc en sens inverse du faisceau incident un flux dΦ _p , de sorte que l'éclairement H en M a pour valeur ( dΦ _p + dΦ _s ) / dS , où dΦ _s satisfait à la relation dΦ _r = dΦ _m + dΦ _a + dΦ _s . La question se pose alors de savoir si des hypothèses ne permettraient pas de rendre moins difficile ce calcul de l'éclairement en conditions réelles.

Le rayonnement thermique et le corps noir

À supposer que la surface (dS) réponde à la condition de Lambert pour toutes les valeurs de la longueur d'onde dans le vide λ , il reste que la question précédente ne peut être complètement abordée qu'au niveau des flux - dΦ _{r, λ} , - dΦ _{m, λ} , - dΦ _{a, λ} , dΦ _{s, λ} et dΦ _{p, λ} respectivement reçu, transmis, absorbé, émis par réflexion et émis par rayonnement thermique dans la bande de longueurs d'onde allant de λ à λ + dλ , compte tenu des relations H _λ = ( dΦ _{p, λ} + dΦ _{s, λ} ) / dS et dΦ _{r, λ} = dΦ _{m, λ} + dΦ _{a, λ} + dΦ _{s, λ} . Or, le rayonnement thermique des objets réels reste assez proche de celui d'un "modèle" de corps physique, limité par une surface fermée (S) dont la température absolue aurait une certaine valeur T et dont tous les éléments de surface (dS) satisferaient, pour l'ensemble des valeurs possibles de λ et de T , aux conditions suivantes :

l'élément (dS) répond à la condition de Lambert ;

il est en équilibre thermique à la température T (d'où la relation dΦ _{a, λ} = dΦ _{p, λ} ) ;

il ne transmet ni ne diffuse ou réfléchit le rayonnement qu'il reçoit (d'où les relations dΦ _{m, λ} = dΦ _{s, λ} = 0).

Un tel corps idéal, pour lequel dΦ _{r, λ} = dΦ _{a, λ} = dΦ _{p, λ} et H _λ = dΦ _{p, λ} / dS , est appelé un corps noir : il est à la fois une source parfaite (la lumière réfléchie ne participe pas à son émission , à la différence de la Lune par exemple) et une cible parfaite (il absorbe toute la lumière qu'il reçoit, à la différence de l'atmosphère terrestre par exemple). De toutes les sources de rayonnement, c'est le corps noir qui, à température donnée, émet le plus d' énergie radiante dans toutes les directions possibles et toutes les fréquences possibles ; plus précisément, son exitance énergétique spectrique N _λ , telle que H _λ = N _λ dλ , est donnée par la loi de Planck

N _λ = π L _λ = π 2 h c ² λ ^{- 5} / ( e ^{h c} ^{/ [} ^{k λ T} ^] - 1)

où L _λ désigne la luminance énergétique spectrique et k , la constante de Boltzmann , égale au rapport de la constante universelle des gaz parfaits R _A par le nombre d'Avogadro N _A (on a k = 1,380 6.10 ^{- 23} J. K ^{- 1} ). L'intégration de N _λ sur l'ensemble des valeurs positives de λ démontre que le corps noir, en tant que source, rayonne une énergie dont l'exitance énergétique H est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue, soit

H = σ T ⁴

conformément à la loi de Stefan-Boltzmann ou loi de Stefan , des noms du physicien autrichien Josef Stefan (1835-1893) et du physicien et philosophe des sciences autrichien Ludwig Boltzmann (1844-1906) ; la "constante de Stefan (-Boltzmann)" σ a pour expression 2 π ⁵ k ⁴ / (15 h ³ c ² ) et vaut 5,670 5.10 ^{- 8} W.m ^{- 2} .K ^{- 4} . Quant au maximum de l'exitance énergétique spectrique à T donnée, il est atteint pour une longueur d'onde λ _max telle que

λ _max = b / T

où la "constante de Wien" b vaut 2 897,8 µm.K : c'est la loi de Wien (d'après le nom du physicien allemand Wilhelm Wien [1864-1928]) ; cette loi montre qu'aux températures courantes, le corps noir — qui de plus ne réfléchit aucun rayonnement — émet principalement dans l' infrarouge et n'a donc qu'un éclairement insensible dans le visible, d'où son nom.

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